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有哪些有趣而著名的悖论?

时间:2023-06-01 17:48:32   来源:网络

在数学中,有哪些非常有趣的悖论?

贝克莱悖论、罗素悖论、意料不到悖论、鳄鱼悖论、分球悖论等等。

悖论:指自相矛盾的命题,这个命题中隐含着两个对立的结论,而这两个结论都能自圆其说。(悖:混乱,相冲突;论:言论,言语。)

历史上出现过的数学悖论很多,数理逻辑是数学的研究方法,于是很多逻辑上的悖论,也归在数学门下,以下就是几个有趣的数学悖论:

贝克莱悖论

在17世纪,牛顿和莱布尼兹各自都独立创立了微积分,但是两人对微积分中“无穷小量”的定义不明确,导致了后来的第二次数学危机。

到了1734年,英国大主教贝克莱驳斥微积分理论(本质是反科学),指出了著名的贝克莱悖论,该悖论把当时微积分中最大缺陷暴露了出来:

关于第二次数学危机的解决,直到19世纪后,由众多数学家,比如波尔查、柯西、阿贝尔和康托尔等等,建立了更严密的数学定义后,才得到彻底解决。

罗素悖论

大名鼎鼎的罗素悖论(也称理发师悖论),直接导致了第三次数学危机的出现。

19世纪末,第二次数学危机在集合论的完善下得到解决,数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上,法国大数学家庞加莱甚至宣称:现在的数学,已经达到了绝对严密的程度!

没想到三年之后,英国数学家、逻辑学家和哲学家——罗素,提出著名的理发师悖论,震惊了整个数学界:

罗素悖论的通俗解释:城市中的所有人,都在一位技艺高超的理发师那刮脸,这位理发师说到:“我只为本城市中,不给自己刮脸的人刮脸”!于是,其他人对理发师说:那么你给自己刮脸吗?

分析:倘若他不给自己刮脸,那么他属于“不给自己刮脸的人”,按照他的说法他就要给自己刮脸;倘若他给自己刮脸,他又属于“给自己刮脸的人”,按照他的说法就不该给自己刮脸。

罗素悖论的出现,说明集合论本身是不完备的;直到1908年,数学家建立起了公理化系统,才让集合论从根本上避免了罗素悖论。

预料不到悖论

一位学生会会长宣布:在下星期一到星期五的某一天下午开会,但是你们无法提前知道哪一天开会,因为只有到了当天早上的8点钟,我才会通知你们。

如果我们仔细分析这段话,会发现存在自相矛盾,使得开会无法进行,你能看出问题所在吗?

鳄鱼悖论

这是古希腊的一个故事:一条鳄鱼从一位母亲的手中夺走了孩子,母亲苦苦哀求说:求求你放过我的孩子,你提什么要求我都答应。

于是鳄鱼得意地说到:可以,那么你猜猜,我会不会吃掉你的孩子,如果你猜对了,我就把孩子还给你!

这位母亲细想片刻说到:我想你会吃掉我的孩子!

鳄鱼琢磨了一会愣住了,心想:我要是吃掉孩子,说明你猜对了,我应该把孩子还给你;如果我不吃掉你的孩子,说明你猜错了,我又要吃掉你的孩子!

分球悖论

悖论意指自相矛盾的命题,但是在一些数学悖论中,也指代某些数学命题,只是该命题与人们的常识相悖,比如分球悖论就是这样的。

分球悖论,数学中一条经过严格证明的定理,可以描述为:一个三维实心球,必定存在一种办法分成有限部分,然后仅仅通过旋转和平移,就可以组成两个和原来完全相同的球(半径相同,密度相同……所有性质都相同)

科学上有哪些著名的悖论?

(1)黄油猫悖论:猫在半空中跳下,永远用脚着陆。把黄油吐司抛到半空中,永远是涂上‎黄油的一面落地。这个悖论出现在,你把黄油吐司没有涂上黄油的一面黏着猫的背部之时,让猫从半空中跳下。依照以上两条定律,猫无法用脚着陆,因为黄油吐司永远在涂上黄油的一面落地;但同样的,黄油吐司涂上黄油的一面无法落地,因为猫永远用脚着陆。

(2)生日悖论:如果一个房间里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中,存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人,这种概率要大于99%。这个数学事实与一般直觉相抵触,所以称得上是一个悖论。大多数人会认为,23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。

(3)打官司悖论:有师徒二人,徒弟跟随师傅学习律师。收徒的时候,徒弟和师傅说好,毕业之后只要徒弟打赢了第一场官司,他就付学费,否则一分钱不给。

毕业之后,徒弟宣布以后再也不给学费,于是师傅一怒之下把徒弟告上法庭。开庭之前,徒弟对师傅说:“如果官司我赢了,那我肯定不用付钱;如果我输了,那当初说好了,我不能付学费。”

师傅反驳说:“如果你赢了,付钱是必须的;如果我赢了,那么根据法律判决,你也要付学费,自己看着办吧!”

(4)二分法悖论:运动是不可能的。你要到达终点,必须先到达全程的1/2处;要到达1/2处,必须先到1/4处……每当你想到达一个点,总有一个中点需要先到,因此你是永远也到不了终点的。

(5)几何悖论:17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈,得到了上面的小号状图形(注:下图只显示了一部分图形)。然后他得出:这个小号的表面积无穷大,可体积却是π。


(6)土豆悖论:100克土豆含有99%的水,如果它被榨出了2%,还剩98%的水分,它将只重50克。即100克的土豆含有1克干物质(drymaterial),当还剩98%的水分时,1克将对应2%的含量,因此含98%水分的土豆重50克。

求几个经典的悖论

(1)理发师悖论:1919年,罗素把他提出的集合论悖论通俗化如下:萨魏尔村有一位理发师,他给自己订下一条规则:他只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子。请问他该不该给自己刮胡子?

(2)苏格拉底悖论:苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”

(3)纸牌悖论:纸牌悖论就是纸牌的一面写着:“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写着:“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Jourdain提出来的。我们同样推不出结果来。

(4)上帝万能悖论:“如果说上帝是万能的,他能否创造一块他举不起来的大石头?”

(5)鳄鱼悖论:一条鳄鱼抢走了一个小孩,它对孩子的母亲说:“我会不会吃掉你的小孩?答对了,孩子还给你;答错了,我就吃了他。” 请问孩子母亲该如何回答才能保住孩子的性命

(6)老子悖论:“知者不言,言者不知。”是一条悖论,被白居易一语道穿。白居易在《读老子》里说道:“言者不知知者默,此语吾闻于老君。若道老君是知者,缘何自着五千文?”

扩展资料:

悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论,而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A。

悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆,是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称,是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。

产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把形式逻辑普适性绝对化,即把形式逻辑当做思维方式。所有悖论都是因形式逻辑思维方式产生,形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误。所谓解悖,就是运用对称逻辑思维方式发现、纠正悖论中的逻辑错误。

性质

悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆,是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称,是思维结构、逻辑结构的不对称。

根源

悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化,即把形式逻辑当作思维方式。

用对称逻辑解“鳄鱼困境悖论”

一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子,它保证如果这个父亲能猜出它要做什么,它就会将儿子还给父亲。如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”,就会成为所谓的“悖论”:如果鳄鱼不还儿子,那么父亲就猜对了,鳄鱼就必须把孩子还给父亲,否则鳄鱼违背了诺言;如果鳄鱼将儿子还给他,那么父亲就猜错了,鳄鱼又违背了诺言。

解悖:鳄鱼“要做什么”是一种心理状态,鳄鱼“把孩子还给父亲”是一种行为,二者在时间上是前后衔接的两个阶段。同样,这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”是鳄鱼心理状态,后来“鳄鱼将儿子还给他”是鳄鱼行为。

这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”这种鳄鱼的心理状态和后来“鳄鱼将儿子还给他”这种鳄鱼行为之间同时存在并不矛盾——正是因为这个父亲猜对了鳄鱼的心理“不把儿子还给他”,所以鳄鱼为了履行诺言必须在行动上把儿子还给他。在这里对称逻辑通过限定时间范围,使语言的内容和语言的对象对称。

参考资料:百度百科-悖论

世界十大著名悖论

世界十大著名悖论分别是电车难题、空地上的奶牛、定时炸弹、爱因斯坦的光线、特修斯之船、伽利略的重力实验、猴子和打字机、中文房间、薛定谔的猫、缸中的大脑。

电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的,用来批判伦理哲学中的主要理论,特别是功利主义。功利主义提出的观点是,大部分道德决策都是根据为最多的人提供最大的利益的原则做出的。

空地上的奶牛最初是被EdmundGettier用来批判主流上作为知识的定义的JTB(justifiedtrue belief)理论,即当人们相信一件事时,它就成为了知识。这件事在事实上是真的,并且人们有可以验证的理由相信它。

悖论简介

悖论,指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论,但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。逻辑上的悖论震撼了逻辑和数学的基础,而伦理思想层面的悖论则可以激发人们深刻的思考。悖论是同一命题或推理中隐含着两个对立的结论,而这两个结论都能自圆其说。

悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。其都是因形式逻辑思维方式产生,形式逻辑思维方式发现、解释或解决不了的逻辑错误。

有名的悖论有哪些?

1、白马非马

说到悖论,绝对少不了的就是我国战国时期公孙龙的那条著名悖论:白马非马。公孙龙认为,白马并不是马,因为“马”强调的是一种生命,而“白马”强调的是一种颜色,二者的定义不同。

有人问公孙龙:如果现在有一匹白马,那么我们就不能说没有马。既然有白马就是有马的意思,为什么还说白马不是马呢?

公孙龙说:如果说想要找一匹马,那么即使是拉来一匹黄马或者黑马,都是可以的。如果你想要一匹白马,那么黄马或者黑马就不行了。如果说白马就是马,那么找一匹白马就等于找一匹马的意思。如果我说我要一匹白马,你却拉来一匹黄马或者黑马,这显然是不对的。由此可见,白马不是马。

又有人问:天底下的马都有各自的颜色,照你这么说,难道世界上就没有马了么?公孙龙又说:马本来就有颜色,所以才有白马。如果马没有颜色,只有它自己,又哪来的白马一说呢?所以,说到白就不是说马了,白马的要求是:既要是马还必须要是白色的,所以白马不是马。

后面还有很多双方讨论的问题,但限于篇幅我们就不赘言了,相信大家也从这一段里体会到了公孙龙大概的主旨。到了今天,仍然有很多人从逻辑学角度甚至是数学的角度来思考这个问题。

2、绞刑悖论

在著名的小说《堂·吉诃德》中,作者描述了一个非常奇怪的国家。这个国家有一条非常奇葩的规定,他们要求来到这里的旅行者必须说明他们来这里要做什么,如果说错就要处以绞刑。不论旅行者说什么,都可能会遭到这个国家的阻挠,导致他做不成,最终以绞刑告终。

但是,有一个旅行者非常聪明。在被问到这个问题的时候,他想了想说:我是来受绞刑的。这句话一说出来,连士兵也傻眼了。如果说这个人说对了,那么按照规定,他们是不可以给他处以绞刑的;但是,如果他说错了,那么他来到这里就不是受绞刑的,那么就更没有理由绞死他了。就这样,这个人保全了自己的性命。

3、理发师悖论

其实说起来,理发师悖论和说谎者悖论有点类似。这个悖论是说有一个理发师非常奇怪,他定下了一个很有意思的规定,那就是要给当地不为自己理发的人理发。这个规定就是一个悖论:他要不要给自己理发呢?

如果如果他不给自己理发,那么他就是当地不给自己理发的人,他就是自己应该理发的对象;如果他给自己理发了,那么他就打破了自己的规定,因为他不为那些能给自己理发的人理发。

4、忒修斯之船

忒修斯之船最早来自于公元1世纪的古希腊哲学家普鲁塔克,他提出了一个著名的思想实验:假设有一只大船,随着时间的推移在不断地老化,人们不得不持续地给它更换甲板、零件、设备。

最开始的时候,它只更换了一块甲板。随着时间的推移,更换的部分越来越多,直到某一天,连最后一块原始的甲板都已经被更换掉了。那么,这艘船还是原来的船吗?

如果说这艘特修斯之船是一艘新船,那么问题来了:这艘船从来没有消失过,何来新船一说呢?如果说它还是原来的那艘船,这也说不通,因为老船上所有的物件都不在了,凭什么说它还是当初那艘船呢?

5、电车难题

所有的悖论之中,没有一个比电车难题更加备受争议了,因为这里涉及到了伦理问题。这个悖论假设:有一辆火车(或者有轨电车)在轨道上行驶,突然发现有一个丧心病狂的人在前方轨道上绑了5个人。此时列车已经来不及刹车了,眼看着5个无辜的人危在旦夕。

这个时候,驾驶员发现轨道有一条岔路,可以紧急转弯。然而令人绝望的是,在那条岔路上,也有一个人被绑在了轨道上。那么,他该不该转向呢?

乍看之下,转向是一个比较好的选择,毕竟谁都知道5>1的道理,这样可以多挽救四条性命。可是,岔路上的那个人难道就不是活生生的人命吗?他为何就要倒霉呢?而且,如果司机主动选择转弯,那么他就从一个原本无奈之人变成了一个主动的杀人犯,这样真的合适吗?


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